440 DE BRUN, ZURÜCKFÜHRÜNG ABELSCHER INTEGRALE. 



25. In dem Vorigen haben wir uns bei den algebraischen 

 Gebilden, welche birationale Substitutionen zulassen, vielleicht 

 zu lange aufgehalten. Diese Gleichungen sind leicht zu unter- 

 suchen, besonders falls inan sich dieselben unter Normalformen 

 denkt; sie sind im übrigen von grösserem Interesse. Schwieriger 

 ist die Aufgabe das Problem der Reduktion zu untersuchen, wenn 

 die Gleichungen nur bialgebraische Substitutionen zulassen. In- 

 dessen kann man dann auch die nothwendigen und hinreichenden 

 Bedingungen — wie wir jetzt zeigen wollen — finden. 



Wir nehmen an, wie im Vorhergehenden, dass in den Um- 

 gebungen der Stellen (a^,-) (i = 1, 2 . . . s) 



x — di + t 



(84) 



und dass in den Umgebungen der singulären Stellen (a v ß v ) 

 (v = 1, 2...N) 



x = a v + t 



!J = ßr + tf y j(t)", „Li, 2. 



In jeder der Functionen 



(85) 



F(xy) 



n = R{xy) fl<) = 



II (x — ätf°II(x— a v ) 



1=1 v=l 



%) 



II (x — a x )^Il(x — a r ) 



(86) 



wo F(xy) und G(xy) ganze rationale Functionen sind, müssen die 

 Entwicklungen £ t und r} ( in den Umgebungen der Stellen («>£»), 

 (ajftj), («2^2)' • ■ • ( a A) identisch sein. Weiter ist es nothwen- 

 dig, dass das Abelsche Integral für dieselbe bialgebraische 

 Substitution invariant ist. 



Wenn wir uns speciel mit dem Falle 



beschäftigen wollen, welcher vor übrigen wichtig ist, haben wir 



