446 DE BRUN, ZURÜCKFÜHRÜNG ABELSCHER INTEGRALE. 



setzen, werden die Bedingungen 



(c 3 -l)(c- 4 -l)( C5 -l). 



a*=^«r_s ; (1 — ay- 



1 



b 2 = 6 Wö . Q _ ™» = ( g 3 — !) ( C 4 — 1) (C ä — 1) 



In dieser Art können wir ohne Schwierigkeit die verschie- 

 denen Bedingungen herleiten, unter welchen das hyperelliptische 

 Gebilde ungeraden Grades ein Abelsches Integral hat, das in 

 ein elliptisches reducierbar ist. 



29. Wenn q eine gerade Zahl ist, wird die Function R(x) 

 von ihrem niedrigsten Grade, falls wir 



Vo = 1 . (123) 



v Q = 2s , (124) 



setzen. Man findet dann 



rj = r. 2 = s + 1 , f 3 = s — 1 



(125) 



2.5+1 



R (x) = JT (# — Ci) + <?j II (x — c t ) 



--s + 1 

 3.S + 2 * 



= TT (as — c t ) + e 2 II(x — c^ = (126) 



i = 2s + -2 t = l 



= Ö> 3 (ar) a • JI (* — c^ + e 3 II(x — Ci) . 



Wie im Vorhergehenden erhält man die gesuchten Rela- 

 tionen, wenn man nach einander x gleich c l5 c 2 ...c s in R (x) 

 setzt, nämlich 



2s + l 3« + 2 4s+l | 



jt (c, - c-o = n (cj - Ci ) = a>,(c,)* • jt (e, - o*) 



t=.« + l !=2.s + 2 i=3s+3 / (12 tf) 



i = l, 2, ...s. ) 



Es ergeben sich zwei Werthe der Constanten der ® 3 (x). 

 Daraus folgt, dass zwei Integrale sich in elliptische reducieren 

 können. Wir erinnern an den Satz des Herrn Picard für £=2. 



Die Anzahl der Moduln ist q. 



