605 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1897. N:o 10. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 170. 



Sur la convergence uniforme des series. 

 Par Ivar Bendix son. 



[Communiqué par G. Mittag-Lepfler.] 



1. Dans son traité fondamental »Fondamenti per la Teorica 

 delte Funzioni di variabili reali» Pisa 1878 page 103, M. DlNl a 

 introduit la notion des series konvergente in ugual grado sem- 

 plicimente», de la maniere suivante: 



Étant donnée une serie de fonctions 



2/w 



convergente dans Vintervcdle a < # < ß, on dir a que la conver- 

 gence de cette serie est simplement uniforme, quand, pour chaque 

 nombre posiiif å, aussi petit que Von voudra, et pour chaque 

 nombre m', il existe un nombre entier m > rn' tel que Von ait 



|2/^)|< J 



pour toutes les valeurs de x de V Intervalle (a, ß). 



Il prouve enfin, page 109, HO, qu'il suffit de supposer que 

 la convergence d'une serie de fonctions continues soit simplement 

 uniforme pour savoir que la serie est elle-méme une fonction 

 continue. Mais il dit qu'il ne sait pas, s'il existe des series 

 convergentes de cette maniére, sans étre en méme temps unifor- 

 mément convergentes dans le sens ordinaire du mot. r ) 



] ) Dini loco citalo page 103, ou il dit: Per quanto so non si conoscono per 

 ora serie che in un dato intervallo siano convergenti in ugual grado solt- 

 anto semplicimente: ma é certo permesso di dubitare che possono essistere 

 anche di tali serie. 



