606 BENDIXSON, SÜR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



II n'est pourtant pas difficile de former des series dont la 

 convergence est seulement simplement uniforme. 



Envisageons a cet efFet une serie de fbnctions continues /",,(#) 



a) !/,(*) 



dont nous supposons qu'elle ne soit pas uniformément conver- 

 gente dans l'intervalle a < x < ß, mais qu'elle y soit convergente. 

 et mettons 



v = n 



U% n — S n 



? ' 2)2 + 1 = s n ■ 



II est donc evident que la serie 



et 



2 u v 



v = 



est convergente et égale a zéro pour toutes les valeurs de x 

 dans l'intervalle. Mais la serie n'y est pas uniformément con- 

 vergente. 



Car si l'on avait 



il s en suivrait que 



et 1'égalité evidente 



nous donnerait alors 



2 u n < ^ P our n ^ m i 



a<x<ß 



2 u v < d pour n > m, 



" =2n+1 a<x<ß 



2 u >' = 



7'=2>i + l 



j s>i | < ^ pour n>m, a<.x<.ß 



ce qui montrerait que la serie (1) serait, contrairement å notre 

 hypothése, une serie uniformément convergente. 



