ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, NIO 10. 607 

 Mais comme 



CO 



2 ><r ~ 

 r=2n 



quel que soit le nombre entier n, on voit que la convergence de 

 la serie est simplement uniforme. 

 Soit enfin 



2 <?"<» 



v = 



une serie uniformément convergente dans 1'intervalle (or, ß), on 

 voit aisément que la convergence de la serie 



00 



2 [<M*) + **] 



r = 



est simplement uniforme, et il n'est pas difficile å prouver que la 

 serie n'est pas uniformément convergente. La serie (1) n'etant 

 pas uniformément convergente, il est en efFet possible de trouver 

 un nombre positif å tel qu'il existe des valeurs de m pour les- 

 quelles s m n'est pas en valeur absolue plus petit que d, pour 

 toutes les valeurs de x de 1'intervalle. Soient m l , m 2 , ..., 

 m v , . . . ces valeurs de m, on sait que 



lim m y = co . 



V— X 



Il existe alors des valeurs de x correspondantes, x mi , x m , 2 , 

 . . . , x m , . . . telles que 1'on ait 



co 



r = m r 



Soit maintenant q un nombre entier, suffisamment grand 

 pour que 



2 9 ) '( ,:y ) < o p° ur m ^ c i ' a 5= *' — $ 



et soit r un nombre entier tel que mi > q pour ^>^, on aura 

 2 \SPÅ X ) + u v\ I > - Pour x = x ml , l>r. 



C. q. f. d. 



