608 BENDIXSON, SUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



On pourrait étre tenté a eroire que le théo.reme inverse de 

 celui démontré par M. Dini serai.t vrai, ä savoir que, si une 

 serie de fonctions continues est elle-méme une fonction continue, 

 la convergence de la serie serait simplement uniforme. II n'en 

 est pourtant rien. Pour le démontrer nous envisagerons les deux 

 series 



v(l — x) (y — iy.{\ — x) 



2 x v (l — x) et 2 



1 + v(l — x) 1 + (v — 1) (1 — x)_ 



qui sont toutes les deux égales a 1 pour < x < 1 et égales a 

 zéro pour x = 1. Fonnons ensuite la serie qu'on obtient en 

 prenant la difFérence de ces deux series, 



(2) 



y r v(l-x) _ (v-l)(l-x) _ _ _ I 



il est evident qu'elle est convergente et égale å zéro pour 



0<a? : <l. 



Mais Té^alité evidente 



y 



y = n + 1 



»(!-*) _ (v-l)(l-x) _ tV _ _ , 

 1 + v(l —x) 1 + (v — 1) (1 — X) 



= 1 _ »(1 — *) 



1 + n(l — ar) 

 pour 0<#<1 nous fait voir alors que le inembre droit est, 



i / i \ n i i 



pour x = 1 , egal äl-il > 4 ou f designe la 



base des logarithmes népériens. Si ra est un nombre positif 

 quelconque, aussi grand que l'on voudra, il existe donc toujours 

 des valeurs de x telles que le inembre gauche est en valeur ab- 



solue > i . 



e 



La serie (2) représente donc une fonction continue dans 

 l'intervalle 0<#<1, mais la convergence de la serie n'est 

 pourtant pas simplement uniforme. 



2. Å l'egard des series dont la convergence est simplement 

 uniforme, on peut établir les Théorémes suivants: 



