«ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, NIO 10. 609 



Théoréme I. 



Si la convergence tVune serie de fonctions 



<ii x ) = 2'jW) 



ou toutes les f v sont des fonctions continues de x pour a < x < ß, 

 est simplement uniforme dans le rnéme Intervalle, et si 



b 



2 JfÅ*)dx 



■y—l o 



est convergente, a et b étant des valeurs de x de Vintervalle, on 

 aura 



b co * 



fcp(x)dx=2i jfv{x)dx. 



a v=\ a 



Pour la demonstration on n'a besoin que d'observer, qu'etant 

 donné un nombre positif d, on peut déterminer ra tel que 



m — l „ 



| g<*) — 2 M x ) | < \b — a\ pour ä ^ a '^F- 



On aura donc 



b ni — 16 



| f(f(x) dx — 2 JfM dx | < ö ■ 



V=\ a 



Mais il existe un nombre infini »ij, m 2 , ..., m r , ... de 

 telles valeurs de ra. On conclut donc que 



b „ b 



\jcp(x) dx - 2 ffr(x) dx | < å 

 a v=\ a 



ce qui prouve notre théoréme. 



Théoréme II. 



Si 



cp(x)=2f,{x) 



v=l 



£st une serie convergente pour a < x < ß et teile que tous les f r 

 sont des fonctions continues, possédant des dm"ivées f' v , pour ces 

 rnérnes valeurs de x, et si en outre 



