610 BENDIXSON, SÜR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIE? . 



00 



q(x) = 2/VO) 



v=l 



est une serie dont la corvergence est simplement uniforme dans 

 V Intervalle («, ß), on aura 



qf{x) = «/ O) • 



Soit en effet d, , d 2 , ..., dz, ... une suite infinie de nom- 

 bres positifs décroissants tels que 



lim 6z = 0". 



On sait alors, d'apres la supposition faite sur la convergence 

 de ip(x), que l'on peut déterminer une suite infinie de nombres 

 entiers croissants m } < m 2 < m 3 <.,.<%<... tels que 



2 f'v(x) < dl P our CC<X< ß . 



v = mz 



Soit maintenant d un nombre positif aussi petit que l'on 

 voudra, on peut toujours trouver un nombre entier q tel que 



dx<-£ pour l > q . 

 On en conclut que 



| 2 /'"(•*) | < 4 P our l ^ ? ' a < a! <ß 

 ce qui nous donne 



2 /VO) | < \ P our ^ > 9 > a < * < 0- 

 Mais l'equation 



4 



"*2 — * 



d 



ymz — 1 »U — l 



2 M* + h)- 2 /•(•*) 



m^-1 



2 A(* + ßh) < <9 < 1 



nous fait voir que le membre gauche est en valeur absolue 

 moindre que — , si x et x + h sont des valeurs de l'intervalle 

 (a. /?). En faisant X augmenter vers l'infini, on obtient 



