612 BENDIXSON, SÜR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



m 



|2äc4'|<g 



pour cliaque valeur de m et pour a < x < ß t alors la serie 



00 



]^fÅ w ) es t uniformément convergente dans Vintervalle a<ix<iß. 



v = l 



Soit ä cet effet g n la limite supérieure de toutes les valeurs 

 de la fonction 



2 f v ( x ) P 0ur «'<#</?■ 



7' = M 



Je dis que les quantités gv sont tels que 

 lim g v = . 



V= CO 



Gar s'il n'en était pas ainsi, les valeurs g x , g 2 , . , ., g v , . . . 

 auraient au raoins une valeur limite g > 0. Soit alors g„ H , 

 g m2 , . . ., g m}i , ... une suite infinie des quantités g v teile que 



lum g m? = g . 



On peut alors déterminer un nombre positif q tel que 



Qmi > | pour l > q 



En for man t 



?. = q, q + l , .... q+r, . 



2 M*) 



on sait qu'il existe au moins une valeur xi de x teile que 



I 2 /^)|>|- 



Ces valeurs # ? , # ?+ i, ..., x q+r , ... sont toutes comprises 

 entré a et ß et ont alors au moins une valeur limite y teile 

 qu'il existe un nombre infini des valeurs x% dans cliaque inter- 

 valle aussi petit que l'on voudra y — £<%<y + £• 



Déterminons maintenant m de teile nianiere que l'on ait 



m + m' 



2 fÅY) < q" P our cnac iue nombre entier m' . 



