614 BENDIXSON, SUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



Pour les series dont la convergence est simplement uniforme, 

 on a un théoreme analogue, mais nous préférons énoncer les 

 cas qui sont possibles de la raaniere suivante. 



Theoreme IV. 



Soit 



7'=1 



une serie convergente pour ex < x < ß et teile que les f v sont des 

 fonetions continues, possédant des dérivées f' r , pour ces meines 

 valeurs de x. Soit de plus G n la limite supérieure de 



n 



1 2/''' (*) I p° ur «<*</?• 



Les trois cas suivants sont alors ä distinguer. 



1) Toutes les valeurs limites des quantités G 1 , 6r 2 , . . ., G n , 

 sont finies. La serie cp(x) est alors uniformément conver- 

 gente dans l 'intervalle (a, ß). 



2) L'inßni est une valeur limite des quantités G v G , . . ., G n , . . . 

 mais elles en ont au moins une autre qui est finie. ha serie 

 cp{x) a donc une convergence simplement uniforme dans 

 V Intervalle. 



3) L'inßni est la seule valeur limite des quantités G x , G 2 , • • •, 

 G n , ... La convergence de la serie nest alors pas en general 

 simplement uniforme dans V Intervalle (a, ß). 



Le cas 1) nous l'avons déjä traité dans le théoreme précé- 

 dent. 



Nous traiterons donc ici le cas 2). 



Soit donc G une des valeurs limites finies des quantités G v . 



On peut alors tro u ver une suite infinie G mv G„ l2 , . . .„ G m , . , . 

 des quantités G v teile que m A < m 2 < . . . < n%x < . . . et que 



lim G ml = G 



et il s'en suit qu'il existe un nombre positif G^ tel que 



G mi < G x "k = 1, 2, 3, . . . , v, . . .. 



