ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, NIO 10. 615 

 Mettons maintenant 



m m 



et envisageons la serie 



«m, + (S m2 — 8 mi ) + (S m3 — S n>2 ) + . . . + (S ml — 8 mX _ 1 ) + ...= 



= 2i ( s ™2 ~~ Sm i - 1) • 



2 = 1 

 Cette serie satisfait évidemment aux conditions du théoréme 

 précédent. Car la serie formée des dérivées des fonctions s m ' x 



Z± \ s >»?. s m i - 1) 



2=1 

 est teile que 



n m n 



| 2 ( S '-2 — S '-2 - l) | = | S '™n | = | 2 /'"(*) \<&1- 



2=1 v=\ 



La serie est donc uniformément convergente. Soit maintenant 

 ö un nombre positif aussi petit que 1'on voudra, on peut trouver 

 un nombre positif q teile que 



oo 



I Zi ( 6>m 2 — s '"2 -i) I < & P our n > 9. • 

 Mais 1'équation 



00 00 



Zj ( s mi s m X _ 1 )= ^ JV\ X ) 



2=m+1 v=m n +l 



nous donne alors 



2 fÅ x ) I < ^ P our n > q 



v=rn n +X 



C. q. f. d. 



Appliquons enfin ce dernier Theoreme å un exemple. 

 S'il sagit de déterminer si la serie 



„. Sin 2x Sin 2>x 

 Sin x - j- 



2 3 



est uniformément convergente ou non, nous formons la serie des 

 dérivées 



Cos x — Cos 2% + Cos 3x — Cos 4# + . . . 



