616 BENDIXSON, SUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



On voit donc que cette serie est = co pour x = tc, 3tc, . . . 

 (2v + 1)tt, .... 



Mais dans un intervalle quelconque qui n'embrasse aucun 

 de ces points la serie 



11 

 2 (— 1)"+! Cos VX 



est toujours finie. II s'en suit que la serie donnée est uniformément 

 convergente dans chaque intervalle qui n'embrasse pas une des 

 valeurs x = ± (2v + 1)jt. 



3. Ces théorémes tres simples sont d'une grande utilité, 

 quand il s'agit du calcul des integrales des équations differen- 

 tielles. Nous traiterons ici quelques exemples de l'avantage 

 qu'on en peut tirer. 



Envisageons Ie Systeme d'equations differentielles 



— J\\ X > y\ ' • • • i Vn) 





oü les fonctions /, , . .., f n , sont continues pour les valeurs de 



*j Vm •■ •> y«> telles q ue 



| # — a? | < a ; | y„ — ,y„o 1 < b ; v=l, 2, . . . , n . 



De plus on suppose que l'on puisse déterminer n quantités 

 positives A x , . . . , A n , telles que l'on ait 



(4) | f v (x , y\, ..., y' n ) — f r (x , y, , . . . , y B ) | < J 1 | #', — y, | + 



+ A i I y'2 — Vi I + • • • + -4» I y'n — y« I 



<£, y x , ..., ?/„, y'j , . .., y'n, étant des valeurs comprises dans 

 les intervalles indiqués. On sait alors que l'on peut, par une 

 suite d'approximations successives, déterminer les integrales des 

 équations (3) qui pour x = x Q prennent les valeurs y xo , ..., 



yno- J ) 



') Voir Picard, Traité d'analyse, Tome II, page 301, Tome III, page 302. 



