ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 10. 617 



Considérons en effet les équations 



dVvi /■ / \ -i 



-±-=j v {x, y 10 , . . ., y n0 ) v=l,..., n. 



Nous en tirons par quadratures les fonctions y n , en les 

 déterminant de maniere qu'elles prennent pour x = x les va- 

 leurs y v0 . 



Ayant forme ensuite le Systeme d'equations 



dy v2 



dx 



f v (x, y u , . .., y nl ) v=l, 



on en détermine les y v2 par la condition que y v = y r0 pour 

 x = x Q . En continuant ainsi on détenninera les fonctions y v \ 

 de maniere qu'elles satisfassent aux équations 



et que y v i = y v0 pour a; = ar . 

 On sait alors que les series 



(5) y v = yvo + 2i\_yvi+i — y v x\ v = l, . . ., « 



;.=o 



représentent les integrales prenant pour x = ,r les valeurs y xo , 

 .... «/„ j tant que 1'on a 



I as — oc Q I < Q 



q désignant la plus petite des quantités a, j- (oü M est la 



valeur absolue maxima des fonctions f v , pour les valeurs des 

 variables | x — x j < a , \y v — y r0 | < b). 



Supposons maintenant que les fonctions f r ne soient pas assu- 

 jetties ä la condition de M. LlPSCHlTZ (4), nous pouvons prouver 

 que si les series (5) sont convergentes pour \x — x | < q 1 ■< q 

 elles sont aussi uniformément convergentes pour ces valeurs de 

 x et représentent les integrales des équations (3). 



A cause de £< — on conclut que 

 | y.n — yro | < b 



