618 BEKDIXSON, SUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



et en general que 



i i 7 v = l, . . ., n 



\yvx — yro\< t> l = l 2 g^ _ 



d'oü l'on conclut que 



I Vv — yvo | < b tant que | x — x | < q } . 



Envisageons maintenant les series 



m 

 / .7 — J vv 1, i y\m ; • • • > ynm) ' — Aj • • • " 



on en conclut que 



m 



\y d ^'^-—\< M Potir^l, 2, ...,«et 

 2=o pour chaque valeur de wz. 



Le Theoreme III du paragraphe précédent nous apprend 

 donc que les series (5) sont uniforméraent convergentes pour 



I * — X Q \<Q X . 



Mais a cause de la continuité des fonctions/;. , il est possible 

 de déterrainer un nombre £ suffisamment petit pour que 



\fx(x , y\ , . . . , y' n ) —fi(x , y l , • • . , y n ) \<ö 1 = 1, 2, ... 



x, y\, . . ., y' n , y x , . . ., y n étant des valeurs quelconques des 

 variables dans les intervalles j y v — y r0 | < b , \ x — x \ < a, 

 n'assujetties qu'ä la seule condition 



\y' v — y v | < £ v = 1, 2, . . ., n . 



Or il est possible de déterminer un nombre m suffisamment 

 grand pour que 



m + m' + 1 



| Jfr, m + m' — yvm | = | 2 \jf*> * + l ~ V*> J | < £ P 0Ur ^ = 1, 2, . . . m, 



v = m + l 



et pour toutes les valeurs de x telles que | x — x | < q x . 

 Mais l'equation 



m + m' + 1 



d 



X 



dw [yrx + i-y^ 



Ji\X , lji t m + m' > ■ • ■ 2/"' m+mV /''V^ ' 3/1'" » ■ ■ ' » 3/»'»/ ' 



