620 BENDIXSON, SUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



Comme on sait alors que 



dx 

 on aura 



Vv2 > y v i pour x > x 

 et en general 



Uvo < yn < yn • < y v l < • • ■ pour x > x . 



b 

 Mais tant que x — x < v> on aura tous les y v i < 6; ce qui 



fait voir que les series 



Vvm + i (yvi+i — yvi) 

 ;.=o 



sont convergentes. Nous savons alors qu'elles représentent des 

 integrales, tant que l'on a 



I * — «o I < P 



, , • n .-. & 



ou £ est la plus petite des quantites a et ^ . 



Pour faire voir qu'il existe en general aussi d'autres inte- 

 grales satisfaisant aux conditions réquises, nous envisageons 

 l'equation 



qui pour y =0 ne satisfait évidemment pas å la condition (4), 

 mais dont 1'intégrale peut étre obtenue par quadrature et s'ecrit 



2)/y—2l(Vy+ 1) = * + c. 



En écrivant cette équation sous la forme 



(V^) 2 (Vyf + = x-x 



2 3 2 



on conclut que 



tö"t=(*-*b)*[l + *((*-*o)*)] 

 f) désignant une serie procédant suivant les puissances entieres 

 et positives de (x — x )* et s'annullant avec x — x . On en tire 



y = (x-x )[l + P,((>-.^j] 



