622 BENDIXSON, SÜR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES. 



ont une limite que nous désignerons par u 1 , et de meine que 



«/2'^> ■ • • i Vir i ■ • ■ 



ont une limite que uous désignerons par u 2 . 



On sait alors que u 2 < u x . 



Maintenant on prouve aisément de la méme maniere que 

 ci dessus que 



00 00 



2 G/2(r+D -- y* v ) , 2 te+i — Vlv - l) 



)'=1 v=l 



sont des series uniformément convergentes, tant que | x — x | < q. 

 De la on conclut que 



sont aussi uniformément convergentes pour ces meines valeurs des 

 variables; ce qui met en évidence que u 1 et u 2 satisfont au 

 Systeme d'equations 



II semble assez dif'ficile ä décider s'il existe dans ce cas 

 une integrale de l'equation (6), prenant la valeur y pour 

 x = x . Mais on peut affirmer que, s'il en existe une, eile est 

 teile que l'on ait 



w 2 < y < w, pour x — x Q < q . 



Car si pour x = x } > ä' on avait par exemple y < u 2 < w x , 



les deux équations 



<#(?/, — y) '!' "'\ '. . . 



dx = A x > O — A* > 3/) < O pour ?=# T 



daT^~ = /O > «i) — A x » y) < ° P our * =»1 



nous apprennent que «j — y et m 2 — ?/ augmentent quand x va 

 en décroissant de x 1 a # . Mais alors on ne peut pas avoir 



.y = u x = m 2 pour x = x . 



