624 GRÖNWALL, DEUX THÉORÉMES SUR LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 



Nous allons considérér la serie plus generale 



CO 



(2) a + / —?- n r <n v+l , — a<a,-<a, a,,=#0. (v=l, 2, . . .) 



v = l 



II est clair que tout nombre réel peut, et cela d'une in- 

 finite de maniéres, étre développé en une teile serie. 

 D'abord, nous allons démontrer le lemme suivant: 

 Supposons que le nombre a- représenté par la serie (2) soit 



rationnel et egal å j , g et h étant deux entiers premiers entré 



eux. Posons 



," CO 



*i - «O + ^ a n r , Oj _ £^ ^ v , 

 v = \ v—,u + l 



si alors 5,<0, on aura 1'inégalité 



(3) h>a tl /*+ 1 ~>~ 1 . 



Multiplions en effet x par h ■ a V, il vient, H désignant un 

 nombre entier 



g-aP 



H+— h --.K^. av 



La serie du second membre est par hypothése diiférente de 

 zéro; d'autre part, eile est inférieure ou égale en valeur absolue 

 a la progression géometrique 



Za-l 

 a v 



v=0 



On a par suite 



<4) q ■ a> — H = - • a$ 



oii # ^ 0, — 1 < $ < 1. Si h < a" w+1 ~ > - », la valeur abso- 

 lue du membre droit serait comprise entré et 1, tandis qu'elle 

 doit, par 1'équation (4), étre au moins égale ä 1; le lemme est 

 idonc démontré. 



