ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, NIO 10. 625 



Supposons que, pour une infinite d'indices v, n,, +1 — n v ^>q)(v), 

 ou cp(v) croit au dela de toute liniite avec v. Alors le nornbre 

 x défini par la serie (2 1 ne peut étre rationnel. 



On a, d'abord, S 2 ^0 pour toute valeur de /.t, car 



a"A 



v = u + 2 



et 



v=/u + 2 r = /u+2 r=f,i+2 y=0 



ou 1'on a le signe < devant la derniére sorame, car eile contient 



toutes les puissances de — a partir de la w w+2 iéme , tandis qu'ea 



vertu de 1'inégalité n v+r — n r >cp(v) satisfaite par une infinite de 

 valeurs de v, certaines de ces puissances raanquent dans 1'avant- 

 derniere soinrae. Donc 



j^l>K+iJ L_^>_ 1 L_ >0 



c'est a dire S 2 25 0. Maintenant le lemme est appliquable et 

 montre que le numérateur h de la fraction irréductible qui re- 

 présenterait la valeur de x surpasserait tout nombre donné, ce 

 qui est absurde. Pour le cas oii les a v sont positifs (et ou 1'on 

 voit par suite immédiatement que *S 2 > 0) ce théoréme est du 

 a Stern. ') 



Nous soinmes maintenant en mesure de démontrer le pre- 

 mier des théoremes que nous avons annoncés: 



Si, dans le développement 



(5) x—%f \ _Jt n y <w r+ i, a„^0, — «<a,.<a(v=l,2, ...) 



il y a une infinite d'indices v pour lesquels 



') M. A. Stern, Ueber Irrationalität von Reihen, Journal de Crelle T. 95 (1883), 

 p. 197—200. 



