626 GRÖNWALL, DEUX THÉORBMES SUR LES NOMBRES TRANSCENDANTS. 



(6). ^XPV 



ou la fonction \jf>{v) tend vers Vinfini avec, p, x est un nombre 

 transcendant. 



Supposons en effet que le nombre (5) satisi'asse ä une équa- 

 tion algébrique a coef'ficients entiers, soit 



(7) c = c x x + c 2 x 2 + . . . + c m x m . 



Nous pouvons éviderament supposer dans (5) — a < a < a, 

 car cela revient å substituer ä x le norabre x + k, k étant un 

 entier, et nous savons que x est algébrique ou transcendant en 

 méme temps que x + k. 



Nous pouvons, de plus, supposer que Téquation (7), que 

 nous désignons par G(x) = 0, n'adraet pas de racine rationelle; 

 car sous cette hypothése on pourrait poser G(x) = G x (x) - G 2 (x), 

 G 1 et G 2 étant deux polynomes å coefficients entiers, ou G l (x)=0 

 donne toutes les racines rationelles de G(x) = tandis que 

 G t (x) = n'admet aucune racine rationelle. Or d'apres le 

 théoréme que nous venons de déraontrer, le nombre (5) n'est 



pas rationnel, car de 1'inégalité --— 1 > cp(v) s'ensuit n v+x — n v > 



n r (cp(v) — 1) > cp(v) si n v > 1 et q>(v) > 1, ce qui a lieu a 

 partir d'une certaine valeur de v. Par suite, il nous est loisible 

 de substituer å (7) 1'équation G 2 (x) == dépourvue de racines 

 rationelles. 



En portant raaintenant dans (7) 1'expression (5), il vient 



v=0 1 = 1 n,, +...+1 



( 8 ) c o =■■ 7 — v 7 c ~>- 7 a 'i •• - a r. 



Décomposons la serie du second membre en deux parties, 

 1'une obtenue en donnant aux v x , . . ., v;, des valeurs ^^f (lequel 

 nombre est encore indéterminé), et 1'autre provenant des termes 

 ou au moins un des indices v x ,...., v% est ^ ji, + 1. Appellons 

 la premiére partie *S, ; son produit par a" 1 • > étant visiblement 



