ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 10. G27 



un riombre entier, on aura le développement suivant de | aS, | 

 selon la formule (1) 



a a ' f* 



c'est ä dire, £ étant egal a ± 1 



(9) S, = ea + -i + • • • + -— f ■ 



a a t* 



Envisageons la seconde partie S 2 ; eile est nécessairement 

 différente de zéro, car si S 2 = 0, (7) admettrait la racine ra- 



tionelle x — \ — contrairement a la supposition. Pour trouver 



/ j a r 



une limite supérieure de \S 2 \, observons que le nombre N 

 des solutions de l'equation 



(10) n V{ + n r , + . . . + n vl = v 



od au moins une des inconnues est plus grande ou égale ä n^ +1 , 

 est, pour v suffisamment grand et en vertu de (6), inférieur au 

 nombre des solutions en entiers non négatifs de l'equation 



(11) k x ;.+ k 2 +"... + k'x = v 



od au moins un des k est >n a+1 . Or å tout Systeme de nombres 

 fcj, ..., hx satisfaisant a ces conditions correspond au moins 

 une Solution en entiers non négatifs de l'equation 



(12) k\ + k' 2 + . . . + k'i = v — n„+i 



et, inversement, ä toute Solution k\, ..., k'x de (12) correspon- 

 dent l solutions de (11) satisfaisant aux conditions indiquées, 

 savoir 



k i —k\, . . ., k e _ 1 =k > Qnl , k {l = k' s + ?i /u+1 , k^+i — k' ?+1 , . . ., kx—k'x 



((? = !, ...,V, 



toutes les solutions qu'on obtient de cette maniere des differentes 

 solutions de (12) n'etant pas d'ailleurs nécessairement distinctes. 

 Comme le nombre des solutions entiéres et non negatives de 



