ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 10. 629 



En ajoutant (14) å (9), on aura d'apres (8) an développe- 

 ment du nombre entier c , qui est de la forme (2) si ju est 

 assez grand pc-ur que n^ + i — l > m • n^. Cest ici que va ap- 

 paraitre une irapossibilité. En appliquant la formule (3) en 

 posant h = 1 parce que c est un entier, on trouve 



tandis qu'en vertu de (6) (i peut étre choisi suffisamment grand 

 pour que le membre droit dépasse toute limite donnée quelque 

 grande qu'elle soit. Le nombre (5) ne peut par suite satisfaire 

 a aucune équation algébrique a coefficients entiers. 



C. Q. F. D. 



II. 



Soit x un nombre positif quelconque et posons 



/^ 1 1 1 



(1) x = % + ■— , x y = a x H ,'..., x' v === a v H , . . . 



oii a v est le plus grand entier contenu dans x v ] en éliminant 

 successivement de ces équations &,<, x 2 , ... on obtient pour x 

 1'expression connue sous le nom de fraction continue normale. 

 Si x est rationnel, no tre expression ne contient qu'un nombre 

 fini de quotients incomplets a , a 1? . . ., a v tandis que pour x 

 irrationnel la fraction continue en contient une infinite en con- 

 vergeant vers la limite x. 



Cela rappelé, nous allons démontrer le théoréme suivant. 



Si, dans la fraction continue normale 



(2) x == a + - " -j- 



1 a, + 



il y o, une infinite aVindices v pour lesquels 

 (3) a v >> a aV 



quelque grands que soient les deux nombres a et a, x est un 

 nombre transcendant, 



