630 GRÖNWALL, DEUX THÉORÉMES SUR LES NOMBRES TRANS CENDANTS. 



Supposons en effet que x satisfasse a une équation algé- 

 brique å coefficients entiers 



(4) f{x) = c x m + c,;»'"'- 1 + . . . + c m = , 



que nous pouvons, sans nuire a la généralité, supposer dépourvue 

 de racines rationnelles, parce que la fraction continue (2), étant 

 infinie, ne peut représenter un nombre rationnel. 



Portons (méthode de Lagrange pour le calcul approximatif 

 des racines) dans (4) la valeur de x tirée de la premiére des 

 égalités (1), il vient 



et en continuant ce procédé 



(5) = /,. (*,) = </,- 1 (« r - 1 + ~ v )=- 



= fr-i(a v - 1 )x y +/v-i{a>.-i)-£, + ... + _ __ . 



On a toujours fv(ci v ) *=. nombre entier, et comme (4) n'a 

 pas de racine rationnelle, ce nombre est différent de zéro, d ou 



(6) \f v (a r )\>l (i = 0\ i, ..., 



laquelle inégalité est le fondement de la demonstration. D'apres 

 un tliéoreme bien connu, 1'on a 



1 /.'/. / ul . l/t-i,(^ -.)l\ 



B '^IÄ=TK=öl( l/ '- ,( ' , '- ,)l + --- + - "W "' 



d'ou par (6) 



(7) «,<!/',- 1 (a^OI + • • • + \- • 



Posons 



( (p(x)=\ c 1 x m + I c, I x m ~ l + . . . + I c m I 



(»){ ' ■-> <pT-Å a v-i) 



hp y (*)=^_i(a„_i>» m + <jpV_ 1 (a v _i)* ,B - 1 + . . . + - , , Vo 



