70 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



Le développement analytique des integrales a été donné 

 par M. Poincaré *) sauf dans le cas oü a = 1 et oü la partie 

 reelle de a est < 0. Le premier de ces cas a été traité par 

 M. Picard 2 ) et raoi, 3 ) le second par moi. 4 ) 



Pour le cas au contraire oü n > 1 on n'a obtenu jusqu' 

 ici que le resultat prouvé par Briot, Bouquet dans leur memoire 

 cité, a savoir qu'i! n'existe pas en general dans ce cas d'inte- 

 grale holomorphe passant par x = 0, y = 0. 



Dans les pages suivantes je veux traiter le cas oü n > 2, 

 me bornant pourtant ä la détermination des courbes integrales 

 reelles dans le cas oü a et b et les coefficients de f sont des 

 nombres réels. 



Je me propose d'etablir les théorémes suivants. 



Theoreme I. Étant donnée Véquation différentielle 



(3) x 2n C -£=ay — xcp(x) — yf(x , y) 



ou a > et cp(x) et f(x, y) sont des series procédant suivant les 

 puissances entieres et j>ositives de x et y, f(x, y) s annullant pour 

 x = 0, y = 0; on peut toujours entourer Vorigine x = 0, y = 

 par un cercle C (x-+y 2 = o' 1 ) possédant les propriétés suivantes: 

 Par chaque point x Q , y , situé ä droite de Faxe des y et å V Inte- 

 rieur de C, passe alors une courbe integrale allant de x , y å 

 Vorigine, en restant toujours ä Vintérieur de C. A gauche de 

 Vaxe des y, il existe au contraire une seule courbe integrale, 

 passant par Vorigine et restant tout entiere ä Vintérieur de C. 

 Dans le cas au contraire oü a < il y a une infinite de 

 courbes a gauche de 1'axe des y et une seule a droite de cet axe, 

 ce que 1'on obtient aisément par la Substitution x= — §. 



'•) Poincaeé, These inaugurale Paris Gauthier Villars, 1879. Voir aussi du 

 méme auteur »Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des 

 équat. diff.» Journal de 1'école polytechnique, Cahier XL V. 



2 ) Picard: Traité d'analyse, Tome II, page 30. 



3 ) Bendixson: »Sur le développement des integrales d'un Systeme d'equat. diff. 

 au voisinage d'un point singulier.» Ofversigt af K. Vet. Akad. handlingar. 

 Stockholm 1894. 



4 ) Bendixson: »Sur les points singuliers des équat. différentielles». Ofversigt 

 af K. Vet. Akad. handlingar 1895. 



