ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 2. 71 



Théoréme II. Etant donnée Véquation différentielle 



dx 



= ay — xcp{x) — yf{x , y) 



ou a > 0, on peut toujours entourer Vorigine par un cercle C 

 {x 2 + ?/ 2 = q 2 ) tel qiVil passe par chaque point x , y , situé å 

 Vintérieur de C, une courbe integrale allant de x , y a Vorigine 

 et teile que toute la courbe, comprise entré x , y et Vorigine, est 

 ■située a Vintérieur de C. 



Enfin on aura le théoréme suivant. 



Théoréme III. Etant donnée Véquation différentielle 

 dy 



x in+\jL __ a y — x(f{x) — yf(x, y) 



ou a < 0, il ne passe par Vorigine plus de trois courbes inte- 

 grales, dont V une est la droite x = 0, Vune est située ä droite 

 de Vaxe des y et la troisiéme a gauche de cet axe. 



Pour fixer les idées nous traiterons d'abord le cas ou n = 2 

 dans Péquation (2), c'est-a-dire 1'équation 



(4) ^ 2 -£=ay — xq>(x) — yf(x , y) 



ou a >» 0. 



Nous voulons donc d'abord prouver que 1'on peut déterminer 

 un nombre positif q tel qu'il passe par chaque point x , y , 

 ou <■£„<(), |?/ol<(?> une C0lir b e integrale allant a 1'origine. 

 Nous pouvons en outre nous borner au cas ou y > 0, le cas 

 ou y < se réduisant å celui-la par la simple Substitution 



y = — n- 



Nous démontrerons notre théoréme a l'aide d'une méthode 

 d'approximations successives tout analogue å celle de M. Picard. 



Déterminons d'abord la fonction y x , de maniére qu'elle satis- 

 fasse a 



^ ~dx = mjy ~~ xq ^ 

 et qu'elle prenne la valeur y pour x = x . 



