72 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



Ayant forme eusuite 1'équation différentielle 



X " ~dx = ay - ~~ XCf> ^ ~ Vl ^ X ' ^ 



on en déterraine y 2 par la condition qu'elle prenne la valeur y^ 

 pour x = x . En continuant ainsi, on déterminera y v de ma- 

 niére qu'elle satisfasse ä 



ai fa == a y* — #<?(» — yv-\f(x, Vv-\) v=2, 3, 4, ... 



et qu'elle prenne la valeur y pour x = x ü . 

 Je dis alors que la serie 



CO 



(5) y — y\ + Zi{yv + \—y v ) 



représente une integrale de 1'équation (4), s'annulant pour # = 0,. 

 dans le cas oü l'on ait choisi x , y , suffisamment petits et 

 positifs. 



Observons aussi que la méthode bien connue de la reso- 

 lution des équations linéaires nous donne 



Xfy 

 a a C rt\( i\ a 



y x = He~ * + e~ * I ^xp? e x dx 



011 



H == y e*o 

 et en general 



x n 



*=»,'+ i~Z f*-** »^ d. ,=2, 3, . . . 



X 



On voit alors aiséinent que toutes les fonctions y v sont 

 telles que l'on ait 



lim y v = 



a;=+0 



en désignant par x = + 0, que # va vers zéro du cöté positif. 

 Pour établir ce resultat on doit observer que, si \p{x) est une 



