74 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIPEÉR. 



En appliquant notre méthode d'approximations successives 

 å 1'équation (7), on en tire 



z x — He x + e x \ Mx — dx 



(8) 



z 9 = 'z. + e x \ — ^ e x dx 

 / x 1 



z v — z. + e x \ s — e x dx . 



Formons maintenant la serie 



00 



(9) Z = Z x + ^ Or + 1 — Zv) 



je dis que, si l'on ait choisi < x < q x , la serie (9) est uni- 

 formément convergente et représente 1'intégrale de 1'équation 

 (7) qui pour x = x prend la valeur y et pour x = prend 

 la valeur 0. 



D'apres la supposition falte, y > 0, il est evident que 

 z \ > pour < x < x . 



Mais 





x 



-CNz x ^ 



x I L z^ 



e x dx 



nous apprend donc que £ 2 — X >0 pour < x <.x , et on ob- 

 tient en general que 



— -fN(z, Zv-i) - 



z v + i — z v = e x \ — — e x dx > pour < x < x . 



. ) X" 



Soit enfin z 1'intégrale de 1'équation (7) qui pour x = x 

 prend la valeur y Q , on aura 



