76 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 

 On aura donc 



h V 1 d , 



— Zy) 



< [(a + N) z + Mx\—_ 



pour chaque valeur de nu 



En désignant par « une valeur positive aussi petite que l'on 

 voudra, on peut maintenant déterminer un norabre positif G e , te\ 

 que le merabre droit soit en valeur absolue raoindre que G € , pour 

 £<^<a? , et pour chaque valeur de m. 



On sait alors que la serie (9) est uniforraément convergente 

 pour ces mémes valeurs de x. *) 



En formant de la inéme maniére la serie des dérivées 

 secondes 



ut 



'x 2 / j dx 2 



d 

 'dx 2 



Zy) 



a dz^i_ M _ N dz E 

 dx dx 



2 



3 l aZ m + 1 — MX — Nz m ~\ 



on aura 





dl 



dx'' 



On pourra donc déterminer un nombre positif G' s tel que 

 le membre droit soit moindre que G' s pour chaque valeur de m 

 et pour e<x<.x . On en conclut que la serie des dérivées 

 premiéres est aussi uniformément convergente, ce qui inet en évi- 

 dence que la serie (9) satisfait ä l'equation (7), poure<#<.r . 



On aura donc 



z = z t + ^(s v + 1 — z v ) pour £<#<#„. 



*) Voir Bendixson, >Sur la convergence uniforme des Series», Theoreme III. 

 Öfversigt af K. Vet.-Akad. Förh. Stockholm 1897. 



