ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, NIO 2. 79 



L'equation 



v = m + l 



Vv) 



— \ a \ym + m' +\ J/m + l) + ym + m'JKp i ym + m') ymj\® 't £/»») | 



^ a I ym + m' +1 y>n + l | + -" | ym + m' ^?« I 



nous 



apprend alors que la serie des dérivées j -^- {y v+1 — y v } 



est uniformément convergente pour s <. x<.x , et il s'en suit 

 que la serie (5) satisfait a 1'équation difFérentielle (4) pour 

 £<.x<.x . Mais £ étant aussi petit que 1'on voudra, 1'intégrale 

 de 1'équation (4) qui pour x = x prend la valeur ?/ , sera donnée 

 par la serie (5), pour toute valeur de x teile que < x < x . 

 Or, on a établi que 



\yx + 



CO 



/ jiyv+i 



■yy) 



< z pour O < x < Xq 



et que lim z = 0. On est donc assuré que 



x= + 



00 



lim y l + y (yv+i— y v ) =0 



x=+0\_ C J J 



c. q. f. d. 

 La premiére partie de notre théoréme est donc prouvée. 

 Afin de prouver la seconde partie du théoréme, nous ob- 

 servons d'abord qu'une équation différentielle 



(11) ^l^ay—xpix) 



ou ip{x) est une fonction continue pour des valeurs negatives 

 de x, teile que 



lim ip(x) = O 



x=— O 



posséde une seule integrale qui s'annulle pour x = — 0. 



Car 1'intégrale generale de 1'équation (11) pouvant s'ecrire 



y 



C- 



to i 



J x> 



e x dx 



