-136 MITTAG-LEFPLER, OM EN GENERALISERING AF POTENSSERIEN. 



hvilken framställer en viss del af funktionen, hvilken af Weier- 

 strass benämnes ett element, i närmaste omgifningen af stället 

 x = 0, och att man från detta element genom en analytisk pro- 

 cess, den af WEIERSTRASS benämda analytiska fortsättning en y 

 alltid kan erhålla funktionen i sin helhet. 



Låt oss tänka det plan, hvilket framställer den oberoende 

 variabeln x genereradt genom en rörlig radie af oändlig ut- 

 sträckning genom punkten x — O. Om man kontinuerligt genom- 

 löper en dylik radie från x = 0, träffar man slutligen på en 

 första punkt, hvilken icke behöfver vara ändlig och som utgör 

 ett singulärt ställe till den gren af den analytiska funktionen, 

 hvilken uppkommer genom analytisk fortsättning längs radien 

 af det ursprungligen gifna elementet. Låt oss nu tänka den 

 återstående delen af radien mellan det närmast x = belägna 

 singulära stället samt mot oändligheten, som en skärning (»cou- 

 pure») i planet och låt oss från gebitet för variabeln x utesluta 

 alla på detta sätt uppkomna skärningar. 



Inom den del af planet, som återstår, och hvilken vi för 

 att förenkla vårt uttryckssätt benämna X, utgör den från det 

 ursprungliga elementet genom analytisk fortsättning genererade 

 delen af funktionen F(x) en entydig öfverallt regulär analytisk 

 funktion af x. Vi beteckna denna del af funktionen F(x) 

 med FX(x). 



Den uppgift, hvars lösning här skall meddelas är följande: 



Att af bestämningselementen F(0) F'(Q) . . . FM(0) . . . 

 konstruera ett enhetligt analytiskt uttryck, hvilket inom hela ge- 

 bitet X framställer funktionen FX(x). 



Detta analytiska uttryck har följande utseende: 



FX(x) ■= F(0) + 



7 71 1 + S 



■ili TT — 5 sh 



2 S 





