ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 3. 137 



hvarest 



, e w — e~ u 

 shu = ^ 



och 



/ ü\ m = l,2, ... 



Rmrn—A^) j 4 = 0, 1, 2,...m — 1 



äro gifna rationella funktioner med heltalskoefficienter utaf e' 2 . 



Om detta uttryck gäller. Låt X' vara ett område, hvilket 

 som helst inom X. Man kan alltid fastställa en positiv qvan- 

 titet ö' sådan, att så snart å är en positiv qvantitet ö < ö', är 

 serien i högra membrum likformigt konvergent för alla värden 

 på x, hvilka tillhöra X'. 



Om man låter x längs en viss radie glida från x = mot 

 co samt härvid träffar ett första singulärt ställe x, så karak- 

 teriseras detta därigenom, att det icke är möjligt att gifva ö 

 ett sådant värde, att detta ställe kan inryckas inom ett gebit 

 X' för hvilket serien likformigt konvergerar. 



Vår framställningsformel löser uppenbarligen uppgiften att 

 framställa funktionen F(x) längs den reella axeln från x = O 

 och intill närmaste positiva och negativa singulära ställe. For- 

 meln konvergerar likformigt för hvarje sträcka mellan dessa båda 

 singulära ställen, och den upplyser sjelf, derigenom att konver- 

 gensen der upphör, om läget af dessa singulära ställen. 



Om funktionen F(x) har ett ändligt antal singulära ställen 

 af bekant läge — som t. ex. integralen till en lineer difterential- 

 eqvation med rationella koefficienter — så är äfven området X 

 härmed gifvet, och vi ha då erhållit en enhetlig analytisk fram- 

 ställning af FX(x) för hela gebitet X. 



Om F(x) är en entydig funktion af x, hvars existensområde 



begränsas af en linie, som genereras af den rörliga ändpunkten 



af en radie, hvars andra ändpunkt är en fast punkt inom Linien 



i fråga, om hvarje radie endast en gång träffar denna linie, och 



om F(x) öfverallt inom sitt existensområde är regulär l ) fram- 



: ) Cf. hvad som säges om funktionerna C(x) och c(x) pag. 78 och 79 uti min 

 af handling >Sur la representation analytique des fonctions monogenes uni- 

 formes d'une variable indépendante» ! Acta Mathematica, Tome IV. 



