140 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



on aura une équation de la forme 



<p(x, rf) désignant une serie procédant suivant les puissances 

 entieres positives de x et de y[. 



Afin de déterrainer la nature des courbes integrales, il nous 

 suffit donc d'etudier une équation de cette forme, laquelle j'ecris, 

 pour plus de simplicité, sous la forme suivante 



( 2 ) x ~dL =aym+ ^ — y^y^ + x yy^ x ? ^ 



<p(y) et ip(x, y) désignant des series procédant suivant les 

 puissances entiéres et positives des variables, convergentes pour 

 I x | ^ Q\ \y\^Q\- Nous nous proposons dabord d'etablir les 

 théorémes suivants. 



Theoreme I. 



Etant donnée Véquation différentielle 



x Å =iaym+ ^ 1 ~yy(y^ + wo** y) 



öii a >■ 0, m = nombre impair. on peut toujours entourer Vorigine 

 x = 0, y = par un cercle C (x 2 + y 2 = Q 2 ) ayant les propriétés 

 suivardes: Par chaque point x , y , situé audessus de Vaxe des x 

 et ä Vintérieur de C, il passe toujours une courbe integrale allant 

 ä Vorigine, sans sortir jamais de C. Au-dessous de Vaxe des x il 

 iVexiste au contraire pas d 'autres points que ceux situés sur Vaxe 

 des y, par lesquels passe une courbe integrale allant ä Vorigine^ 

 Pour le cas ou m est un nombre impair mais a < 0,, 

 on aura un théoréme tout analogue, qu'on obtient en mettant 



y = — n- 



Théoréme II. 



Etant donnée Véquation différentielle 



x ~ix = a y m+ '\y — y • ?(#)] + w(f ,' y). 



