142 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR* 



Je dis alors que par chaque point x , y , situé au-dessus 

 de l'axe des x et ä l'interieuf du cercle x 2 +y 2 = ö 2 l , passe une 

 courbe integrale allant å l'origine. 



Soit en effet x , y Q un tel point que l'on ait aP + y\<d x . 



On sait alors que par le point x = x , y = d 2 , il passe une 

 courbe integrale allant ä l'origine, car en mettant 



x = y m +^ 

 on aura pour le point correspondant 



sm+1 ' HO ~ "2 1 



ce qui nous donne 



^2 



>-2 2 ro 



Désignons par L x la courbe integrale passant par x = x , 

 ?/ = d 2 , et par L la courbe integrale passant par x = x , y= y . 

 On sait alors que L est situé entre Taxe des x et L A tant que 

 < x < x . 



Or, ~ n'etant jamais infini pour < x < x Q , on sait que 



y est une fonction holomorphe de x pour chaque valeur de x 

 teile que 0<^<^? . 11 s'en suit que la courbe L peut étre 

 prolongée de x aussi prés que l'on voudra de x = 0. Mais 

 cette courbe ne pouvant en outre rencontrer ni L x ni y = 0, il 

 taut que la valeur de y sur L soit située entre et la valeur 

 de y sur L x , ce qui met en évidence que la valeur de y sur L 

 va vers zéro quand x décroit vers zéro. c. q. f. d. 



Afin de prouver la seconde partie du théoréme I, nous 

 supposerons qu'il existe une courbe integrale allant de x = x , 



y = — y < 0, ä l'origine. La valeur de -j- n'etant alors jamais 



infini pour 0<o;<^ , il s'en suit que y peut étre exprimé en 

 fonction holomorphe de x pour chaque point de cette courbe. 



Soit donc y = f{x) 1'équation de cette courbe, et supposons 

 que 



li m /(» = 0. 



x= +0 



