146 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 

 ou que 



(6) 



x a x a e mM Qi rna 



m m O 



e 1Mmq xx u ] g _ p 0ur <- x < x ^ 



y v y a -o 



a désignant une quantité positive quelconque. 



Mais la dérivée du membre droit étant égale å 



gmMQ\ x a — 1 



a mae mM Qi , x ma 

 ~ a log ^- e mM ?i 



Vo 



x a ^ 



on conclut, qu'ayant choisi y de teile raaniere que 



a ma 



— > — - e mM 9\ 



le membre droit de 1'inégalité (6) ira en décroisant, quand x va 

 vers zéro. 

 On aura donc constamment 



de x Q vers zéro. 



(7) 



— <— e mM ?i pourf 



m ^ m r I 



(0 < x<x 



2« 



e -M<> x 



Envisageons maintenant les deux équations 



* "^rp = a.yll\ [1 — VvAyv)~\ + xy y+1 xp{x, y v ) 



dy v 



~ dx = ay ™ ^ ~ y v ~ ^ Vv ~ ^ + xyM* ' y* - 



on en conclut que 



* d{yv+ dx~ - =a [C + i 2 -yT l l l -ytfjyj]+*ü*+i -vM*,**) 

 — ayT 1 bfyAyv) — yv-iAy*- 0] + 



+ osy v \_\jj(iB, y v )—ip(x, yr-i)~] 

 ce que l'on peut écrire 

 d(y v+ A —y v ) 



(8) x 



dx 



= H v {x) [y r+l — y v ~\ — K v {x) [_y v — y v - {\ 



H v et K v désignant des fonctions continues de x pour 0<#<# . 



