148 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



on aura 



y.vf(yv)—yv--\f(y v -\) 



K v {x\y v - y v _ i] = y™ +1 [y q v - y\ _ J 



J y U v — i 



X Q e MQ x lm + q— 1] 



1 m + q — 1 



y, 



oü \e l | < 1. 



En déterminant donc x suffisainment petit pour que l'on ait 



(9) 



N- 



x gMg.lm + q-lJ \ (( [ ) 



m + q — 1 



y<> 



< 



on peut étre sür que K v (x) est du nieme signe que b, pour 

 toute valeur de x entre et x . 



Maintenant il n'offre pas de difficulté de prouver que la 

 serie (4) est convergente et satisfait ä 1'équation differentielle (2). 



Deux cas sont alors ä distinguer suivant que b~>§ ou 6<0 



Supposons d'abord qu'on ait b > 0. 



En observant que y 2 — ?/] = 0, pour x = x , 1'équation 



diy^ — y^ 



(10) 



nous donne 



dx 



(yi —y\) H \( x ) — yi K i{ x ) 



f* 



(x) 



y<i — y\= — eXo 



lyÄOO 



-M 



H^x) 



e x o 



dx . 



Mais y x étant positif ainsi que K^ , on conclut que y 2 —y x >0 

 pour < x < x . 



Cela étant établi, 1'équation 



(11) x ^j=^ = (y 3 - y 2 )H 2 (x) - (y 2 - y x )K 2 {x) 



oü y 2 — y x > 0, K 2 > 0, nous perraet de la méme maniére de 

 conclure que 



3/3 — y-i. > ° • 



