150 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERR DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 

 nous apprend que 



y\ — Vi > 9 • 

 Les y ä indices paires förment alors une suite croissante 

 et les y ä indices impaires une suite décroissante. II est donc 

 evident que chacune de ces suites a une limite déterminée. 

 Mettons 



lim 2/2^+1 = u 



■y=oo 



lim y 2v = v . 



Les series 



00 



V =Vl + 2^2»' — 3/2(^-1)] 



j/=2 



seront alors uniformément convergentes, å cause du Theoreme 

 III de mon memoire ci-dessus cité, et on aura 



x -j- .= au m+1 [l — vf(v)~] + xuip(x , v) 

 ås-j- = av m+1 [l — uf(u)] + xvip(x, u) . 

 Ces deux équations nous donnent 



x l ^ U ~ V ' = a[u m+1 — v m+1 ] [1 — vj\vj\ + x\u — v~\ip(x, v) 



— av m+l [yf(v) — uf(u)~\ + %v\_\p{x , v) — ip(x , w)] 

 ce que l'on peut écrire 



d(u — v) 



dx 



[u — v\- H{x) 



H(x) désignant une fonction continue de x pour < x<.x . 

 Or on sait que u — v — 0, pour x = x , et il s'en suit que 



u — v = pour < x < x 



ce qui met en évidence que la serie (4) est convergente et 

 satisf'ait a 1'équation (2). c. q. f. d. 



