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Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1898. N:o 3. 

 Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola- N:o 177. 



Sur les nombres transcendants. IL 

 Par Hakon Grönwall. 



(Communiqué le 9 Mars 1898 par G. Mittag-Leffler.) 



Apres la publication de ma note: Deux théorémes sur les 

 nombres transcendants (ce recueil, année 1897, p. 623), j'ai 

 trouvé une demonstration du premier de ces théorémes beaucoup 

 plus simple que celle exposée dans ladite note. Elle repose sur 

 le théoréme general suivant. 



Si Von peut approcher au nombre irrationnel x par des 

 fractions rationnelles 



de sorte que 



(v = 1, 2, . . .) 



q v 



u. I Pv I 



q r \x — —I 

 i qv i 



tend vers zéro quand v augmente indéfiniment, et cela quelque 

 grand que soit Ventier (.i, x est un nombre transcendant. 



Supposons en effet que x satisfasse a une équation algébrique 



(1) f(x) = c x m + e x x m - x + . , . + e m — 



c , ..., c m étant des entiers. Par hypothese, x est un nombre 

 irrationnel; nous pouvons par suite supposer f(x) = dépourvue 

 de racines rationnelles. Posons 



(2) x=^ + K; 



q v 



