ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 3. 159 



Deriveras (3), så erhålla vi 



(4) (p'( a ) — e~ a x'(a) — e~ a x(a) , 



der 



,. . a a 11 

 x (a) = x. +iü,7+... + x n+ i . h . . . . 



Integrera (4) mellan a och a, så få vi 



a 



(5) cp{d) — q>(a ) = C{e— a x'{a) — e~ a x(a)}da . 



«o 



Låt här a gå mot oändligheten. Då är enligt antagande 

 lim cp(a) ändlig, bestämd. Således måste integralen 



co 



f{e~ a x'(a) — e~ a x(a)}da 



vara ändlig, bestämd. Då måste, om ett gränsvärde existerar, 



(6) lim {er a x'(a) — e~ a x(a)} = . 



Men för att detta gränsvärde skall existera, är tydligen 

 nödvändigt och tillräckligt, att 



(7) lim {er a x\aj\ 



<J=CO 



existerar, alldenstund 



lim \er a x(a)\ = x 



existerar. Antaga vi då, att gränsvärdet (7) existerar, så är 

 detta alldeles detsamma som att antaga, att följden (2) tenderar 

 mot en generaliserad limes; ty om gränsvärdet (7) existerar, 

 definierar det generaliserade limes till följden (2). Om således 

 följden (2) tenderar mot en generaliserad limes, så erhålla vi 

 af (6) 



lim [e~ a x\dj\ = lim [e~ a x(dj] = x . 



a = «> a=oo 



Således är generaliserade limes till följden (2), om den 

 existerar, lika med x. h. s. b. 



