160 OLDENBURG, DIVERGENTA SUMMERB ÄRA SERIER. 



Det fel, Borel begår och som orsakar den felaktiga for- 

 muleringen af satsen är följande: han påstår, att eftersom 



00 



C{e~ 9a'(a) — e~ a x(a)}da 

 o 



är ändlig, bestämd, så skulle 



lim [er a x'(a) — e~ a ^(a)] = O . 



a=oo 



Men detta gränsvärde kan, som bekant, vara obestämdt 

 och integralen ändock ha ett ändligt, bestämdt värde. (Se 

 t. ex. Picard, Traité d'Analyse, första tornen sid. 26). 



Borel betraktar nu en oändlig (divergent) serie och upp- 

 ställer följande definition: 



Låt oss ha en serie 



U + M, + ...+, U n + ... . 



Låt s n vara summan af de n första termerna; s = 0. Om 

 då följden 



^0' ^1 ' • • • ' *"' • • • 



tenderar mot en generaliserad limes, s, så säges serien vara 

 generaliseradt summerbar och kvantiteten s kallas dess generali- 

 serade summa. *) 



Han bevisar sedan åtskilliga satser om generaliseradt sum- 

 merbara serier. Till följd af det förut begångna felet blir dock 

 hans formulering af det nödvändiga villkoret för en series gene- 

 raliserade summerbarhet oriktig. Han påstår, att det nödvändiga 

 villkoret för, att en serie skall vara generaliseradt summerbar, 

 är, att följden af seriens termer skall tendera mot en generali- 

 serad limes lika med noll. 



Det är lätt att visa exempel på en serie, som är generali- 

 seradt summerbar, men der följden af termerna ej tenderar mot 

 någon generaliserad limes. Betrakta serien 



u + u x + . . . + u n + • • • > 



') Borel kallar kvantiteten s för seriens summa; som det ej är fråga om 

 summa i vanlig mening, torde det vara lämpligt att använda en annan be- 

 nämning. 



