162 OLDENBURG, DIVERGENTA SUMMERBARA SERIER. 



Ty följden (s') kan sättas under formen 



(s') S y = S + U , S 2 = S x + Uj , . . . , S n + 1 = S n + U n , 



Elementen i följden (s') äro således bildade genom addition 

 af motsvarande element i följderna (s) och (ii). Men då måste 

 generaliserad limes till följden («') nödvändigt existera och vara 

 lika med s + u. Men den måste också vara lika med s, om 

 den existerar. Således 



s + u = s , 

 hvaraf 



h. s. b. 



Vi kunna föröfrigt finna det nödvändiga villkoret för en 

 series generaliserade summerbarhet enklare på en något annan 

 väg, om vi observera, att Borel visat, att det nödvändiga och 

 tillräckliga villkoret är, att integralen 



OO 



Je~ a u(a)da , 

 o 



der 



a a n 



u(a) = u + u x - + + u n — + . . • , 



är ändlig, bestämd. Men härför är nödvändigt, om ett gräns- 

 värde existerar, att 



lim [e~ a u{aj\ = O . 



a = co 



Om således följden af seriens termer 



^0 ' u i ' • ■ • > **« » • • • 



tenderar mot en generaliserad limes, måste denna vara noll, för 

 att serien skall vara generaliseradt summerbar. 



