172 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



dx 



= aif^ [1 - yf(y)-\ + x ■ ip(x , y) 



oü a > 0, m = nombre impair, f et \jj étant des fonctions holo- 

 morphes au voisinage de x = 0, y = 0, il passe toujours par 

 Vorigine ä droite de Vaxe des y une eourbe integrale L, et ä 

 gauche de cet axe une eourbe integrale JJ , possédant les proprié- 

 tés suivantes: On peut entourer Vorigine par un cercle C, 

 (x 2 + y 2 < q 2 ) tel qu'il passe une eourbe integrale allant ä Vori- 

 gine par chaque point x , y de C, situé entre L et Vaxe des y 

 positifs, ou entre U et V axe des y negatifs. 



Si au contraire x , y est un point de C situé entre L et 

 Vaxe des y négatifs, ou entre L' et Vaxe des y positifs, la eourbe 

 integrale passant par x , y nira pas ä Vorigine. 



On doit observer ici qu'il existe des cas speciaux, oü L se 

 réduit ä l'axe des y positifs, et d'autres oü U se réduit ä Taxe 

 des y négatifs. 



Theoreme II. 



Étant donnée Véqitation différentielle 



v 2n+i^y 



dx 



aym + i [1 —yf(y)-\ + xip{x , y) 



ou a >• 0, m = nombre impair, f, ip étant des fonctions holo- 

 morphes au voisinage de x = 0, y = 0, il passe toujours par 

 Vorigine, a droite de Vaxe des y une eourbe integrale L, et a 

 gauche de cet axe une eourbe integrale U , possédant les pro- 

 priétés suivantes: On peut entourer Vorigine par un cercle C 

 {x 2 + y 2 < £ 2 ) tel qu'il passe une eourbe integrale allant å Vori- 

 gine par chaque point x , y de C, situé audessus de L et U. 

 Si au contraire x , y est un point de C, situé audessous de L 

 ou de L ', la eourbe integrale passant par x , y , nira pas a 

 Vorigine (excepté quand x = 0). 



Ici on doit observer que L ou U peuvent, dans des cas 

 speciaux, se réduire å Taxe des y positifs. 



Pour le cas enfin oü a < 0, m = nombre impair, on aura 

 des théorémes analogues en faisant la Substitution y = — 13. 



