174 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



oü a < 0, m — nombre pair, f et ip désignant des fonctions 

 holomorphes au voisinage de x = 0, y == 0, il passe toujours par 

 Vorigine, a droite de Vaxe des y, deux courbes integrales L et 

 L x , et ä gauche de cet axe, deux courbes integrales U et L\ 

 possédant les proprietés suivantes: 



On peut entourer Vorigine par un cercle C, (x 2 4- y 2 < q 2 ) 

 tel quil passe une eourbe integrale, allant ä Vorigine, par chaque 

 point x , y de C, situé entre L et L J , ou entre U et L\. Si 

 au contraire x , y est un point de C qui n est situé, ni entre 

 L et L-y, ni entre TJ et L\, la eourbe integrale passant par x , 

 y nira pas a Vorigine (excepté évidemment quand x = 0). 



Ici on doit observer qu'il existe des cas oü L et L x se 

 réduisent a une seule eourbe, et d'autres ou L' et L\ ne sont 

 aussi pas des courbes différentes, comme on sait qu'il a Heu 

 quand m = 0. x ) 



Nous procéderons maintenant a la demonstration des Theo- 

 rem es. 



Demonstration du Theoreme I. 



Nous pouvons ici nous borner au cas oü x , y est un 

 point tel que x > 0, car la Substitution x = — '%, y = — 1\ 

 réduit le cas oü x < ä celui oü x > 0. 



Mettons maintenant 



(2) F(x , y) = ay"^ [1 - yf{y)\ + *tfa , y) ' 

 et envisageons les courbes satisfaisant a 



(3) F(x , y) = . 



Deux cas sont alors a distinguer, suivant qu'il existe ou non 

 une eourbe, satisfaisant ä l'equation (3), qui est située a droite 

 de Taxe des y. 



Nous supposerons d'abord quil n existe pas de eourbe, sa- 

 tisfaisant ä Véquation (3), et située ä droite de Vaxe des y. 



On peut donc entourer l'origine par un cercle C (x 2 -f y 2 < £ 2 ) 



tel que -—- soit > pour chaque point de C, situé a droite de 



') Voir mon memoire cité. 



