176 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



On sait donc que 



lim y (x) = a 



x = 



a étant une quantité déterminée positive ou nulle. Mais la 

 relation (4) nous apprend, qu'une courbe integrale ne peut pas 

 couper Taxe des y en un point dont l'ordonnee est > ä l'in- 

 térieur de C. On aura donc 



lim y (x) == O . 



Soit maintenant x , y un point de C, situé entre la courbe 

 integrale y = y (%), et Taxe des y positifs, et envisageons la 

 courbe integrale y — y(x), passant par ce point. II est evident 

 que y(x) ira en décroissant en meine temps que x, et la courbe 

 étant tout entiére comprise entre y = y (x) et Taxe des y, on 

 conclut de la meine maniére que ci-dessus que 



lim y(x) = . 



x=0 



Si au contraire x n , y est un point de C, situé entre la 

 courbe y == y {%) et Taxe des x, il est evident que la courbe 

 integrale, passant par x , y , n'ira pas å l'origine, car on n'aurait 

 alors pas 



lim cp a = cp . 



cc=0 



La courbe y = y (x) est donc la courbe L du théoréme I. 



Supposons maintenant qv.il existe des courbes, satisfaisant 

 ä Véquation (3), et situées ä droite de Vaxe des y. 



D'apres un théoréme bien connu de Weierstrass j ) on sait 

 que toutes les valeurs de x, y, satisfaisant å 1'équation (3), et 

 situées au voisinage de x = 0, y — 0, doivent satisfaire a une 

 certaine équation 



aym + l + J^yra + . . . + / m + 1 (^) = 



f\i fii •••i fm+i, désignant des fonctions holomorphes de x. 



Si cette équation contient des facteurs multiples, on peut 

 la réduire a une autre équation 



J ) Voir Weierstrass: »Einige auf die Theorie d. Analyt. Funct. sich bezieh. 

 Sätze.» Mathem. Werke Tome IT. 



