178 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES EQUATIONS DIFFÉR. 



ralléle å Taxe des x ne peut couper K v plus d'une fois, car 

 autrement K v aurait une tangente parallele a cet axe, ce qui 

 n'a pas lieu. 



Si K v est situé audessus de Taxe des x, cette droite en 

 coupant K v , sortira. quand x va en décroissant, de la partie de 

 C, limitée par K v et K v _i, et entrera dans la partie du cercle 

 limitée par K v+ i et K v . 



De meine, chaque courbe integrale qui coupera K v , sortira 

 alors, quand sc va en décroissant, de la partie de C limitée par 

 Ky et K v _i, et entrera dans la partie de C limitée par K v+ i 

 et K v . 



Mais ~ n'etant iamais infini ä l'interieur de C, toute la 



dx J 



courbe située a l'interieur de ce cercle, pourra étre parcourue 

 de teile maniere que x va toujours en décroissant. II n'est donc 

 pas possible que cette courbe peut couper K v plus d'une fois. 



Si Ky est au contraire situé audessous de Taxe des x, la 

 demonstration se fait de la méme maniere. 



Pour la détermination de la courbe L et la demonstration 

 du théoréme nous distinguerons maintenant trois cas 



1) K x et K r sont tous les deux situés audessous de Taxe 

 des x. 



Envisageons alors une courbe integrale y = y a {x), passant 

 par un point x = a, y = K x (a) de K x . Quand x va en dé- 

 croissant de x = a, cette courbe entrera dans la partie de C 

 située entre K x et Taxe des y négatifs et y restera donc, tant 

 que la courbe sera située ä l'interieur de C. Pour toutes ces 



valeurs on aura donc -f- > 0. 

 dx 



On en conclut que y a (%) ii' a en décroissant en méme temps 

 que x, et la courbe finira alors par s'eloigner de C. 



Soit maintenant x — b, y = K^ip) le point, oü la courbe 

 K x coupe le cercle x- + y 1 — Q 2 , et menons dans le plan des x, 

 y les droites y — b et x = b, dont la derniére rencontrera la 

 courbe K r dans le point x — b, y = K,,{b) > K A {b). 



