180 BENDIXSON, LES POINTS SINGÜLIERS DES ÉQUATIONS DIFPÉR. 

 



Si le point x = b, y = b, est situé entre K r et Taxe des 

 y positifs, et y = y Q (x) va couper K r pour une valeur de x<^b, 

 ori prouve de la raéme inaniére que 



lim y(x) = . 



x = 







Si enfin le point x = b, y = b { est situé entre K r et Taxe 

 des y positifs, mais y = y (x) ne rencontre jamais K r , on aura 



constamment -Jf- > 0, quand x va vers zéro. La valeur de yJx) 

 dx 



ira donc constamment en décroissant, et cette valeur étant en 



outre toujours plus grande que K r (x), on aura 



lim y(x) = a 



x = 



oü a est une quantité positive ou nulle. Une courbe integrale 

 ne pouvant pas couper Taxe des y dans d'autre point que 

 l'origine, a l'interieur de C, on conclut enfin que la courbe va ä 

 l'origine. 



La courbe y -— y (x) sera donc la courbe L de notre 

 théoreme. En effet si x , y , (x < b) est un point de C, situé 

 entre y = y (x) et l'axe des y positifs, on n'aura rien ä changer 

 dans la demonstration donnée ci-dessus pour prouver que la 

 courbe integrale passant par x , y ira a l'origine. 



Au contraire si x Q < b, y , est un point de C, situé entre 

 y = y {%) et Taxe des y négatifs, il est evident que la courbe 

 integrale passant par x , y , ira couper la ligne brisée en un 

 point situé entre la courbe y = y {%) et Taxe des y négatifs, ce 

 qui met en évidence qu'elle ne peut pas passer par l'origine. 



2) K x est situé audessous de Taxe des x, mais K r est situé 

 audessus de cet axe. 



Soit alors y = K r (x) l'equation de K r , et envisageons la 

 courbe integrale 



V = M x ) 

 passant par x = a, y = K r (a). II est evident que cette courbe 

 ira ä l'origine. Car quand x va en décroissant de a, y = y a (ß) 

 entrera dans la partie du plan, située entre K r et Taxe des y 



