182 BENDIXSON, LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



Le théoreme 1 est ainsi complétement prouvé. 



La demonstration du théoreme 11 se f'ait d'exactement Ia 

 meine maniere pour les courbes situées a droite de Taxe des y. 

 Pour les courbes situées a gauche de cet axe on n'a qu'a faire 

 la Substitution x = — E, pour réduire ce cas au cas précéclant. 



Demonstration du Theoreme III. 



Soient alors K x , K 2 , . . . , K r les courbes satisfaisant ä 



F(x ,y) = 



situées å droite de Taxe des y, et rangées de teile maniere que 

 l'on ait 



Fix , y) < entre Taxe des y negatif's et K x 



F{x , y) > entre K x et K 2 



F(x , y) > entre K r et Taxe des y positifs. 



On peut alors, de la meine maniere qu'a la page 177, déterminer 

 q suffisamment petit, pour qu'aucune des courbes K v n'ait une 

 tangente parallele å Taxe des x a 1'intérieur de x 2 + y-<.Q 2 , 

 et on sait alors que la partie d'une courbe integrale qui est située 

 tout entiére a 1'intérieur de C, ne peut couper K v phis d'une fois. 



Soit main ten an t x = b une droite, coupant K x et K r ä 

 1'intérieur de C, et envisageons la courbe integrale y = y(x) 

 passant par un point x , y , situé a 1'intérieur de C, et tel que 

 x < b. 



Nous supposerons oVabord que le point x , y soit situé 

 entre K r et Vaxe des y positifs. On sait alors que y ira en 

 décroissant en méme temps que x, jusqu'a ce que la courbe in- 

 tegrale va rencontrer K r . 



Si K r est situé audessus de 1'axe des x, cela ne peut pas 

 arriver car une courbe integrale, coupant K r , ira, quand x va en 

 décroissant, de la partie du plan située entre ÜT, et K r ä celle, 

 située entre K r et 1'axe des y positifs. La courbe y = y(x) 

 n'ayant en outre pas de point commun avec 1'axe des y, on aura 



lim y(x) = . 



x = 



