184 BENDIXSON, LES POINTS SINGÜLIERS DES EQUATIONS DIFFÉR. 



Soient ä cet effet K\ , . . . , K' r Ies courbes satisfaisant å 



F(x , y) = 



et rangées de teile maniére que F(x , y) < entre Taxe des y 

 négatifs et K\ , F(x , y) > O entre K\ et K' 2 , . .., F(x, y) > O 

 entre K' r et l'axe des y positifs. Nous déterrainerons q suffisam- 

 nient petit pour qu'aucane courbe integrale ne rencontre une 

 des courbes K' v plus d'une fois ä l'interieur du cercle x 2 + y- = q 2 , 

 et que 1'inégalité (4) soit satisfaite. Nous distinguerons alors 

 deux cas, suivant que K\ et K' r sont situés du meine coté de 

 Taxe des x ou non. 



Nous pouvons dans le premier cas supposer que K\ et K' ,. 

 sont tous les deux situés audessous de Taxe des x, car la Sub- 

 stitution y = — iq réduit le cas oü ils sont situés audessus de 

 cet axe ä celui-ci. Soit x = — b une droite, coupant K\ et 

 K' r a l'interieur de C (x 2 + y 2 < £ 2 ) et envisageons la courbe 

 integrale 



passant par x = — a> — b, y = K\{ — a); y = K\(x) désig- 

 nant l'equation de K\ . 



„....., dy n 



On sait alors qu on aura constamment -j- <0 pour x~> — a, 



tant que la courbe est située a l'interieur de C. La courbe 

 y = y a (%) finira donc par s'eloigner de C pour des valeurs suf- 

 fi sam men t petites de — x. 



De l'autre cöté il est evident que y = y u (x) doit rencontrer 

 x = — b dans un point x = — b, y = — b(a) < 0. Car si la 

 courbe est tout entiére située entre K x et K r pour — b<.x< — a, 

 cela est evident. Si au contraire la courbe va rencontrer K r 

 en un point dont l'abscisse est egal å — a > — b, on aura 

 y'a{%) > pour toute valeur de x située entre — a et — b, ce 

 qui f'ait voir que — b(a) < 0. On prouve donc aiséinent que 



lim ( — b(cc)) = — b 



«=o 



oü b est une qnantité déterminée positive ou nulle. 



