186 BENDIXSON, LES POINTS SINGTJLIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉR. 



En faisant varier a vers zéro, on prouve maintenant d'une 

 maniére, tout analogue a celle employée ci-dessus, qu'il existe une 

 courbe L\, allant a l'origine. 



En étudiant de la méme maniére les eourbes integrales 

 y = y a (x), passant par un point de K\, on prouve l'existence 

 de l'autre courbe integrale U . 



Notre Theoreme III est ainsi complétement démontré. 



Pour la demonstration du Theoreme IV on doit observer, 

 que pour les eourbes, situées a droite de Taxe des y, cela se fait 

 exaetement de la méme maniére qu'au théoréme III, et par la 

 Substitution x = — % on traite aussi les eourbes å gauche de 

 Taxe des y de la méme maniére. 



Pour la demonstration du Théoréme V enfin, on procédera 

 de la méme maniére que pour les eourbes du Théoréme III, si- 

 tuées a gauche de 1'axe des y. 



Nous avons ci-dessus fait la remarque, qu'il existe des cas ou 

 la courbe L des théorémes I et II se réduit å l'axe des y positif. 



Il n'est en effet pas difficile d'en donner un exemple. 



Envisageons en effet 1'équation 



(6) x n+s< ^ = ay 2 + bw 2 



ou a et b sont positifs. Je veux démontrer, que la courbe inte- 

 grale ?/, , passant par le point x , y , (x > 0, y > 0) coupera 

 nécessairément 1'axe des x en un point dont 1'abscisse est > 0. 

 Soit en effet z l la courbe integrale de 1'équation 



ax 



passant par le point x , y :0 , on aura 



1 1 

 n 



b 

 H — Vo — 



x n 



x r 



Pour une valeur a > mais < x„ de x, on aura alors 



0. En formant maintenant 



, +3 <%i — g i) _ 2 



dx 



ai, 



