248 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



Man kan alltid välja % så, att den gren af den analytiska 

 funktionen F(x), för hvilken 



för det område, hvilket utgör sammanfattningen af dessa n 

 cirklar förhåller sig entydig och regulär. Det kan inträffa, 

 antingen att detta förhållande eger rum, hvilken punkt '% än 

 ma vara på linien l, eller ock, att detsamma alltid eger rum, 

 när £ är en punkt belägen mellan origo och en viss gifven 

 punkt £ n , men deremot icke längre fortbestår, då | är belägen 

 längre bort från origo än |„. Om det förra förhållandet in- 

 träffar, är F(x) en hel transcendent funktion af variabeln cc, 

 och kan alltid i sin helhet framställas genom en beständigt 



OD 



F (ll \0)-r—. Vi lemna detta fall 



helt och hållet å sido samt sysselsätta oss endast med sådana 

 funktioner, för hvilka § n är en punkt inom ändligt, område. 



Låt oss nu med C n förstå det af ett enda stycke bestående 

 kontinuum, som utgör sammanfattningen af alla linier t från 

 origo och till och med n§ n . De finnes uppenbarligen en gren: 



FC n {x) 

 af den analytiska funktionen F(x), hvilken är sådan att: 



Denna gren framställes för hvarje ställe a, hvilket är be- 

 läget inom C n genom den n-faldiga serien: 



oo s ix)*-\ + --+K 



(2) vc n (x) = Y^^' • • y/ v,+ ' + ^ )(0) |irrT7]x;' 



Om denna serie gäller, när vi sätta 



(& &E9*&± po** 



dzf 1 v ' ' 



