252 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



Vi ha bevisat, att för hela området C": 



(11) 



JP<jt) 



(12) 



(» -!)-)(- 



i n]\n 



Om vi således sätta: 



in 



FC n {x) = \^ 



<gccf* . 



FW((n—l) 



ei 



-— + «i 

 (i 



så gäller, att för hela området Cn 



w 



(13) 



K 



:#" 



m + 1 



Om nu m väljes tillräckligt stor, sjunker 



1 — a 



och härmed 



yWt+l 



äfven g £ under hvarje gräns. 



Om åter ß och a väljas tillräckligt nära ett, omsluter C° % 

 hvarje inom C n beläget område. 



Vi ha härmed bevisat, att den första af våra serier (4) 



' X \*1 



l 



F«,.|(n-1)« 



för hvarje inom C n beläget område är likformigt konvergent. 



Om vi nu beakta, att hvarje derivata af FC n (x) likaväl 

 som FC n (x) för området C n är entydig och regulär, så inses 

 utan vidare, att samtliga serier (4) för hvarje inom C n beläget 

 område äro likformigt konvergenta. 



Härmed ha vi erhållit följande teorem: 



A. »Grenen FC n (x) af den analytiska funktionen F(x) 

 framställes för hvarje ställe inom området C n genom den n- 

 faldiga serien f)C {x). Denna serie, som konvergerar för hvarje 

 ställe inom C n , är dessutom för hvarje inom C n beläget område 

 en likformigt konvergerande serie.» 



