254 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



Låt oss nu på följande sätt definiera ett nytt område X 

 uti .»-planet. Om man från origo l|ngs en linie l fortsätter 

 potensserien: 



oo 



kan det inträffa, att hvarje punkt å l kan inryckas inom en 

 af de analytiska fortsättningarne af 1ß(x), men det kan också 

 hända, att man träffar en första punkt, som icke kan inryckas 

 inom någon dylik analytisk fortsättning. Vi betrakta då den 

 del af l, som från denna punkt sträcker sig mot oo, som en 

 skärning — »coupure» — af ^-planet. Den del af .»-planet, 

 hvilken återstår, sedan alla dylika skärningar uteslutits, beteck- 

 nas i det följande med X. 



Låt nu X vara ett ändligt kontinuum, hvilket som helst 

 inom X. Man kan alltid finna ett positivt helt tal n så stort, 

 att området C n innefattar X så snart n ~>n . Ett dylikt värde 

 på n kan eihållas på följande sätt. Man kan alltid innesluta 

 X inom ett annat ändligt område X', som faller helt och hållet 

 inom X, och som begränsas af den linie, hvilken erhålles, då man 

 å hvarje linie l afsätter en punkt längre aflägsen från origo än 

 den längst bort belägna punkt, der / träffar X. Låt q vara 

 undre gränsen för afståndet mellan en punkt på begränsningen af 

 X' och en punkt på begränsningen af X och låt R vara längsta 

 afståndet från origo till en punkt på begränsningen af X'. I 

 hvarje fall eger nu rum, att C n omsluter X' och härmed också 

 X för n^n om man väljer n så stort att 



R 



n s 



Härmed ha vi erhållit följande nya teorem: 



C. »Låt X vara ett ändligt kontinuum, hvilket som helst 



inom X. Det finnes alltid ett motsvarigt positivt helt tal n, 



sådant att likheten 



